sich selbst enthalten

Am 28.12.2008 21:23 schrieb Rudolf Sponsel:
Hallo Interessiert-Kundige,

bin mal wieder mit etwas u.a. ML-Nahen befasst, nämlich mit der Idee "sich
selbst enthalten" und sammle Material hierzu.

Vier Fragen zu "sich selbst enthalten":

1) weiss jemand, wer zuerst auf die Idee kam, dass sich etwas selbst enthalten
könnte/ sollte (m.E. ist das in der schönen und klaren Definition der Menge
durch CANTOR nicht "enthalten" ;-))

2) kennt jemand eine Rechtfertigung, Erklärung oder Begründung für diese Idee,
dass es auf der Welt irgend etwas geben könnte, das sich selbst enthält?

Schönflies hat das ja als sozusagen Kinderkrankheit der ML herausgearbeitet
und Argumente entwickelt, warum die ML auf dieses Konzept verzichten sollte -
jedenfalls lese ich das aus dem Artikel.


3) Zu was braucht die ML diese Idee? Gibt es auch eine ML ohne diese Idee?

Es war anscheinend eine Kinderkrankheit, eine unbrauchbares Konzept im
Anfang der Entwicklung dieser ganzen Ideen. Schätze, daß spätestens
nach Russell diese Idee in der ML nicht überleben konnte - aber hier gibts
kompetentere Zeitgenossen als mich.


4) kennt jemand Beispiele auf dem "wirklichen" Leben, die sozusagen ein Modell
für diese Idee sein könnten? Enthält z.B. dieses Posting z.B. sich selbst oder
enthalten 10g Zucker sich selbst?

Nein, nur in manchen mathematischen/theoretisch abgehobenen Spekulationen
(Kann Gott einen Stein machen, den er nicht heben kann? Wenn Gott überall
ist ist er dann in sich selbst? Wenn die Menge der natürlichen Zahlen alle
natürlichen Zahlen enthält, enthält sie sich dann selbst?)


... Dank für sachkundige Auskünfte.

... kann ich leider nicht garantieren... ;-)


Gutes Neues an Alle -

Gottfried

Am 28.12.2008 23:02 schrieb Klaus Stein:
D.h. sobald ich anfange zu erlauben, daß Mengen in anderen Mengen enthalten
sind (und das kennen wir in der Realität aus Postbeuteln die in Postbeuteln
versackt bzw. in Postsäcken verbeutelt sind), entsteht letztlich die Frage,
ob bestimmte Mengen gebildet werden können oder nicht.

Sozusagen, der Postbeutel X, der alle Postbeutel enthält...
enthält er sich auch? Und - könnte *jeder* Postbeutel derjenige sein,
der alle enthält? Was zeichnet einen Postbeutel aus, daß er
derjenige sein kann, der alle enthält? Ist er dann noch
ein gewöhnlicher Postbeutel? Oder ein Postbeutel-beutel?...

... beutelneurose... omm...

<g>

Am Sun, 28 Dec 2008 22:32:20 +0100 schrieb Gottfried Helms:


3) Zu was braucht die ML diese Idee? Gibt es auch eine ML ohne diese Idee?

Es war anscheinend eine Kinderkrankheit, eine unbrauchbares Konzept im
Anfang der Entwicklung dieser ganzen Ideen.

Eigentlich nicht. Genau genommen hat sich niemand wirklich für derartige
Mengen interessiert. Russells Paradox basiert ja auf der Idee eine Menge zu
betrachten, die NUR (und alle) "richtige(n)" Mengen (also Mengen die sich
nicht selbst als Element enthalten) enthält; aber eben... damit ist man
dann (zumindest im Kontext der sog. "naiven ML") im Dilemma... :-)


Schätze, daß spätestens nach Russell diese Idee in der ML nicht überleben
konnte ...

Zumindest musste man eine "ordentliche" Axiomatisierung der ML finden...

Jedoch enthielt das ursprüngliche Axiomensystem von Zermelo (1908) noch
KEIN Fundierungsaxiom, so dass derartige Mengen nicht explizit ausge-
schlossen waren.

HEUTE gibt es eine Variante der ZFC in der Fund durch AFA (anti-fund.
axiom) ersetzt ist. :-) Kurz: derartige Mengen sind also heute hoffähig
geworden. :-)


4) kennt jemand Beispiele auf dem "wirklichen" Leben, die sozusagen ein Modell
für diese Idee sein könnten? Enthält z.B. dieses Posting z.B. sich selbst oder
enthalten 10g Zucker sich selbst?

Nein, nur in manchen mathematischen/theoretisch abgehobenen Spekulationen [...].

*hüstel* Da irrst Du Dich...

"Computer science, linguistics, situation semantics, and the broad fields
of artificial intelligence and cognitive science have given urgency to the
need to formulate models of self-referential structures. To many, hypersets
are the natural avenue to pursue."

Source:
http://bsmith7.asp.radford.edu/Hypersets.pdf

Sehr gutes Buch dazu:

Barwise, Jon and Lawrence Moss. 1996. Vicious Circles: On the
Mathematics of Non-Wellfounded Phenomena.

Review:
http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?viewody&id=pdf_1&handleuclid.rml/1081878069


Herbert

Am Sun, 28 Dec 2008 23:13:49 +0100 schrieb Gottfried Helms:


D.h. sobald ich anfange zu erlauben, daß Mengen in anderen Mengen enthalten
sind (und das kennen wir in der Realität aus Postbeuteln die in Postbeuteln
versackt bzw. in Postsäcken verbeutelt sind), entsteht letztlich die Frage,
ob bestimmte Mengen gebildet werden können oder nicht.

Sozusagen, der Postbeutel X, der alle Postbeutel enthält...

Genau. Wenn ich nun durchgängig "Postbeutel" durch "Menge" ersetze, erhalte
ich folgenden Text:


Sozusagen, die Menge X, die alle Mengen enthält...

Ja, das wäre dann die Allmenge. (Diese müsste sich natürlich -als Menge-
auch selbst enthalten: X e X.)


enthält sie sich auch?

Ja, siehe oben.


Und - könnte *jede* Menge diejenige sein, die alle enthält?

Nein. Wenn es mehr als eine Menge gibt, dann wohl nicht. :-)


Was zeichnet eine Menge aus, daß sie derjenige [ist], die alle
enthält?

Nun ich würde sagen, ihre "charakteristische Eigenschaft", in diesem Fall:

"x = x".

Denn für die Menge

{x : x = x}

-wenn es sie denn gäbe- würde gelten:

Ay(y e {x : x = x}).

Kurz, diese Menge würde _alle_ Objekte (unserer Theorie) enthalten. (Denn
bekanntlich gilt für jedes Objekt x: x = x.)

Damit würde natürlich speziell auch gelten:

{x : x = x} e {x : x = x} ,

wie schon erwähnt.


Ist sie dann noch eine gewöhnliche Menge?

Ja, in der Quineschen Mengenlehre NF schon. Dort gibt es in der Tat die
"gewöhnliche" Menge

V := {x : x = x} ,

mit den nämlichen Eigenschaften. :-)


Oder ein Mengen-Menge?

Nun, was ist an Mengen-Mengen so besonderes? In der ZFC z. B. gibt es
bekanntlich NUR Mengen, so dass jede Menge _außer der leeren Menge_ eine
Mengen-Menge ist.

Lediglich Mengen M für die gilt

M e M

gibt es in ZFC (aufgrund des Fundierungsaxioms) nicht. D. h. durch Fund
sind solche Mengen _explizit_ ausgeschlossen. :-)

Damit gibt es natürlich in ZFC auch keine Allmenge (diese ist aber auch
schon durch andere Axiome ausgeschlossen).


Herbert

Am Sun, 28 Dec 2008 23:59:54 +0100 schrieb Herbert Newman:


Am Sun, 28 Dec 2008 21:23:28 +0100 schrieb Rudolf Sponsel:

Ein paar Anmerkungen noch zu dem Aufsatz von Schönflies. Dieser schreibt
darin:

"Wir fragen uns zweitens, ob es Mengen gibt, die sich selbst als Element
enthalten. /Die ist unmöglich./"

Aus heutiger Sicht muss man sagen, dass das schlicht und einfach _falsch_
ist. So konnte z. B. Peter Aczel zeigen, dass seine Variante der ZFC (in
der es Mengen gibt, die sich selbst als Elemente enthalten) konsistent ist,
wenn ZFC es ist. D. h. so eine Theorie ist logisch sehr wohl "möglich",
wenn überhaupt eine Mengentheorie (eben ZFC, z. B.) "möglich" ist.

"Jeder Versuch, eine Menge dieser Art zu bilden oder vorzustellen, muss
scheitern."

Nun ja, wenn es um das "bilden" geht, hat Schönflies wohl recht. [...] ABER
"vorstellen" kann man sich m. E. so eine Menge sehr wohl. Zumindest _ich_
kann das (denke ich). Was ist an der Vorstellung einer Menge

a = {a}

so schwierig? Ja, ok, es gilt dann

a e a ,

so what? Man kann nun natürlich darauf hinweisen, dass dann auch gilt

a e {{a}} ,
und
a e {{{a}}},

usw. usf. (ad infinitum), also in letzter Konsequenz

a e {{{...}}},

so what?

Dann ist das halt so. Ebenso gut (und m. E. mit gleichem Recht) könnte man
behaupten, dass "man" sich die unendliche Menge IN der nat. Zahlen nicht
vorstellen könne:

IN = {0, 1, 2, 3, ...}.

Zweifellos gelingt es niemandem, sich diese Menge _in conreto_ in ihrer
Gesamtheit "vorzustellen". (Irgendwelche Elemente der Menge IN bleiben
zweifellos _immer_ außerhalb unserer _konkreten_ Vorstellung von IN als
"Gesamtheit ihrer Elemente".)

Aber das ist letztlich -darauf sei hier explizit hingewiesen- eine
_psychologische_ Frage, diese ist für die logisch-mathematische Frage nach
der _logisch-mathematischen_ Möglichkeit einer solchen Menge irrelevant.
Und bezüglich der _logisch-mathematischen_ "Möglichkeit" dieser Menge hat
sich eben Schönflies, wie schon gesagt, geirrt. Immerhin zeigt sich hier m.
E., dass sich die Theorie durchaus in Übereinstimmung mit unserer diesbe-
züglichen Intuition befindet.

Mit der Allmenge ist das m. E. ähnlich. Was ist an der Vorstellung einer
Menge, die ALLE Mengen als Elemente enthält (oder überhaupt alle Objekte),
so problematisch? Wenn wenn es aber so eine Menge "gibt" (und sei es nur
als "hypothetisches" Objekt im Kontext einer mathematischen Theorie), dann
muss sie, als Menge, auch sich selbst enthalten. --- Wiederum im Wider-
spruch zur Behauptung Schönflies', dass es unmöglich sei, sich so etwas
"vorzustellen".

Was ich mir NICHT "vorstellen" kann, ist eine Menge M, die ein Element a
enthält und zugleich auch _nicht_ enthält. Vergleiche dazu die Punkte 1.
und 2. in Schönflies' Arbeit.

Nun meint er noch:

"Es genügt in dieser Hinsicht, auf die im Mengenbegriff steckenden
Grundeigenschaften hinzuweisen."

Das ist problematisch, da dieser Begriff ja nicht "a priori" gegeben ist,
sondern eigentlich durch uns selbst erst "geschaffen" wird.

Man kann sich auf den Standpunkt stellen, dass die Axiome der ML im
wesentlichen den Versuch darstellen, diesen "Begriff" formal zu fassen.
(Bekanntlich gibt es heutzutage verschiedene Axiomatisierungen, die sich
sich mithin auf unterschiedliche "Mengenbegriffe" beziehen.)

Kurz von den "_im_ Mengenbegriff steckenden Grundeigenschaften" kann hier
wohl kaum -so unqualifiziert- die Rede sein. [...]

Wenn Schönflies also im Folgenden bestimmte Grundeigenschaften "des Mengen-
begriffs" anführt, dann sind das Eigenschaften SEINES Mengenbegriffs. Man
könnte das als eine Vorstufe zu einer (best.) Axiomatisierung ansehen:

"Also solche sind aufzuführen: 1. Die Menge ist verschieden von jeder ihrer
Teilmengen, insbesondere von jedem ihrer Elemente."

Hier ist anzumerken, dass Schönflies mit "Teilmenge" _echte Teilmenge_ (in
heutiger Terminologie) meint. Denn klarerweise ist die Menge M nicht
verschieden von der Teilmenge M von M.

Der Zusatz "insbesondere von jedem ihrer Elemente" formuliert hier gerade
das "zu Beweisende"... :-) Klar, wenn ich FORDERE, dass keine Menge sich
selbst als Element enthält, dann kann auch keine (solche Menge, d. h. keine
Menge, die dieser Forderung entspricht) sich selbst als Element enthalten.
Schlau! :-)

(Schlimm ist, dass Schönflies offenbar noch eine Menge, die aus genau einem
Element besteht als identisch mit diesem Element ansieht. Daher spricht er
hier von "insbesondere"; das ist natürlich aus heutiger Sicht Unsinn.)

Kurz: Schönflies formuliert hier das AXIOM

Ax(Menge(x) -> Ay(y c x v y e x -> y =/= x)) ,

welches (unmittelbar) impliziert:

Ax(Menge(x) -> x !e x).

"Keine Menge enthält sich selbst als Element."

Na fein. So what?

"2. Wenn irgendwelche Elemente zu einer Menge zusammengefaßt werden, so
bleiben sie sozusagen /begrifflich invariant./ Die Menge repräsentiert
daher einen /neuen/ Begriff, der zu den einzelnen Begriffen, die die Menge
konstituieren, noch hinzukommt."

Aha... Nun ja... alles ein wenig "unklar" würde ich sagen (insbesondere aus
heutiger Sicht). Allerdings kann man diese Ideen auch präzisieren - und man
HAT das auch schon getan. In der Tat erlaubt eine Mengenlehre, die nach
diesem Grundsatz "aufgebaut" ist, keine Mengen, die sich selbst als
Elemente enthalten.

"Deshalb kann es Mengen, die sich selbst als Element enthalten, nicht
geben."

Ja, klar: Wenn WENN ich diese FORDERUNGEN an eine best. Mengentheorie
stelle, dann kann es _in dieser Theorie_ keine Mengen geben, die sich
selbst als Elemente enthalten; aber DARÜBERHINAUS ist damit gar nichts
gezeigt, bewiesen. :-)

Allerdings ist sein Zirkel schon ein wenig komisch...
Erst stellt er ein Axiom auf, das im wesentlichen aus-
sagt: "Eine Menge ist verschieden von jedem ihrer Elemente."
Um dann daraus zu "schließen": "Deshalb kann es Mengen,
die sich selbst als Element enthalten, nicht geben."


Herbert

Am Mon, 29 Dec 2008 02:49:34 +0100 schrieb Herbert Newman:


"Die Russellsche Menge M aller Mengen m, die sich selbst nicht als Element
enthalten, ist daher nichts anderes, als die 'Menge aller Mengen'. Dies
sind zunächst wieder nur Worte; wir folgern aber sofort, daß auch diese
Worte keinen widerspruchsfreien Begriff darstellen können; denn hier liegt
der Widerspruch dem Vorstehenden gemäß auf der Hand. Die 'Menge /aller/
Mengen' würde nämlich - falls man sie dem Russellschen Schlußverfahren
gemäß so auffaßt, daß eines der Elemente der 'Menge' mit der 'Menge'
identisch sein soll - ebenfalls eine Menge darstellen, die sich selbst als
Element enthält, was ja unmöglich ist. Damit ist die Quelle des
Russellschen Paradoxons aufgedeckt."


Eine weitere Anmerkung noch. In einer modernen Klassen/Mengentheorie (in
der es neben Klassen, die Mengen sind, auch noch sog. echte Klassen gibt),
ergibt sich folgendes:

Die Russellsche Klasse ist eine echte Klasse (und daher keine Menge),
sie enthält in der Tat alle Mengen, und ist daher, mit der Allklasse
(die ebenfalls eine echte Klasse ist) identisch. Da hier also M = V
eine _echte Klasse_ ist (und keine Menge) liegt auch kein Widerspruch
vor: als echte Klasse muss sich M bzw. V nicht selbst enthalten. :-)


Herbert

On 28 Dez., 21:23, Rudolf Sponsel <rudolf-spon...@sgipt.org> wrote:

4) kennt jemand Beispiele auf dem "wirklichen" Leben, die sozusagen ein M=
odell
für diese Idee sein könnten? Enthält z.B. dieses Posting z.B. sich =
selbst oder
enthalten 10g Zucker sich selbst?

Es kommt auf die Definition von "sich enthalten" an. Wenn man z.B.
sagt:
- Ein Programm, das seinen eigenen Quellcode übersetzen kann und somit
eine formale Definition der Sprache, in der es geschrieben ist,
darstellt, enthält sich selbst
dann enthalten sich die meisten Compilerprogramme höherer
Programmiersprachen selbst.

Es gibt auch Spielereien wie Automaten (Zeichenketten), die, wenn man
sie in gewisser Weise interpretiert, "sich selbst" erzeugen. Man
könnte dann mit gewisser Berechtigung sagen, der Automat enthalte
mindestens mal die Beschreibung seiner selbst.
4hnliches trifft für biologische Wesen zu, die ja ihren eigenen
Bauplan enthalten.