Résoudre 2 puissance x = n?

Bonjour,

Désolé par avance pour la question idiote.

Je voudrais savoir comment résoudre cette équation :
2^x = n
Combien vaut x si on connait n ?

D'avance merci.

martin68 a écrit :
Le 15/01/2012 22:56, TSalm a écrit :

Je voudrais savoir comment résoudre cette équation :
2^x = n
Combien vaut x si on connait n ?

En France
En première ça se fait par tests successifs
Exemple 2^n024
En faisant des essais on fini par se rendre compte que 2^912 par
exemple et 2^10024 donc n0
En terminale ça se résout avec la fonction ln (logarithme)

Bonjour,

Comme l'a souligné martin, la difficulté pour répondre à une telle
question tient deja au niveau de connaissances de l'interlocuteur !
(qui est ici inconnu)

Mais aussi à une imprécision flagrante dans l'énoncé :
"Résoudre" sans autre forme de précision, c'est résoudre dans
l'ensemble des nombres *réels* (voire des nombres complexes..) c'est à
dire chercher le nombre réel x tel que 2^x = n

Alors là il faudra déja que l'interlocuteur sache
- ce que sont les nombres réels
- que signifie 2^x quand x est un tel nombre, par exemple la
signification de 2^1.317589, voire pire 2^pi

Alors la résolution de 2^x = 307 donne

1) dans l'ensemble des nombres entiers
2^8 = 256, 2^9 = 512, 2^8 < 307 < 2^9
et les inégalités _strictes_ disent "pas de solution"
(par les logarithmes : log(307)/log(2) n'est pas un nombre entier)

Pour des exemples plus compliqués, par exemple 2^x = 536870912, on
opère par dichotomie :
2^2 = 4
2^4 = 16
2^8 = 256
2^16 = 256^2 = 65536
2^32 = 65536^2 = 4294967296
donc 16 < x < 32

2^24 = (2^16)*(2^8) = 65536*256 = 16777216
Donc 24 < x < 32

2^28 = (2^24)*(2^4) = 16777216*16 = 268435456
Donc 28 < x < 32
2^30 = (2^28)*(2^2) = 268435456*4 = 1073741824

Donc 28 < x < 30
2^29 = (2^28)*2 = 268435456*2 = 536870912
et donc x = 29

Cette méthode est un peu plus rapide que le calcul successif de toutes
les puissances de 2, quoique...

2) dans l'ensemble des nombres réels
2^8 < 307 < 2^9 donne 8 < x < 9
Pour aller plus loin dans la précision il faut savoir calculer
2^(8.5) etc, ce qui n'est pas une simple affaire et se fait en
pratique ... par les logarithmes !
Donc tant qu'à faire :
x = log(307)/log(2) = 2.4871... / 0.30103... ~= 8.262
on peut utiliser ici n'importe quelle base pour les logarithmes
La base 10 (logarithme décimaux), ou les logarithmes "naturels"
à base e, voire la base ... 2 :
x = log_2(n) !!!

De toute façon l'utilisation des logarithmes est ici un simple jeu
d'écriture, parce que si on ne sait pas calculer la valeur numérique
de ces logarithmes, on n'est pas plus avancé !
Et comme ils se calculent par approximations (par exemple avec des
formules dérivées de ln(1+u) = u - u^2/2 + u^3/3 - u^4/4 + ... )

On peut aussi ne pas se poser toutes ces questions existentielles et
taper sur les touches x^y, log (ou ln) de sa calculette...

Cordialement.

--
Philippe C., mail : chephip, with domain free.fr

Le 15/01/2012 22:56, TSalm a écrit :
Bonjour,

Désolé par avance pour la question idiote.

Je voudrais savoir comment résoudre cette équation :
2^x = n
Combien vaut x si on connait n ?

D'avance merci.

Bonjour ,
(j'utiliserai exp() pour exprimer la fonction exponentielle ,et ln()
pour le logarithme népérien)


Si n est un réel positif :
2^xxp(x*ln(2)) , nxp(ln(n))
donc x*ln(2)=ln(n)=> x=ln(n)/ln(2)

Pour n négatif il faut des notions de logarithmes complexes il me semble .